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Ludwig Wittgenstein's Remarks on the foundations of mathematics PDF

2014 Reprint of 1956 version. complete facsimile of the unique variation, now not reproduced with Optical attractiveness software program. released in English and German with each one textual content offered on opposing pages. "Remarks at the Foundations of arithmetic" are Wittgenstein's notes at the philosophy of arithmetic.

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Im Allgemeinen wird der Beginn der eigentlichen Variationsrechnung mit dem von Joh. Bernoulli 1696/97 gestellten Problem der Brachystochrone (Kurve, längs der im Schwerefeld der Erde eine Masse von einem Punkt zu einem tiefer gelegenen anderen Punkt in kürzester Zeit gelangt) in Verbindung gebracht. Sein Bruder Jakob hat den springenden Punkt – nicht spezielle Punkte werden gesucht, sondern eine spezielle Kurve bzw. Funktion – herausgearbeitet. Auf Jakob geht auch der methodologische Ansatz zurück, dass die Extremale die gesuchte Bedingung erfüllt, wenn sie ihr auch in jedem ihrer Teile zukommt.

Fundamentallemmas der Variationsrechnung erhält man schließlich die berühmte Euler-Lagrangesche Differentialgleichung zweiter Ordnung fy′ y′ y ′′ + fyy′ y ′ + fxy′ y − fy = 0. Dieser muss die Minimalfunktion (Extremale) genügen. Man hat also eine notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremalen gefunden. Die Herleitung dafür hinreichender Bedingungen ist erheblich komplizierter und würde den Rahmen dieses Buches sprengen. Am 12. August 1755 wandte sich der 19jährige Ludovico de la Grange Tournier (der sich später unter dem Einfluss der Französischen Revolution Joseph-Louis Lagrange nannte), Professor an der Artillerieschule in Turin, brieflich an Euler.

4). Zur Lösung dieser Aufgabe wird angenommen, dass es eine Extremale, z. B. eine Minimalfunktion y0 , gibt. Zu ihrer „Konkurrenz“ werden Funktionen der Gestalt y = y0 + εη mit η ∈ C 2 [x1 , x2 ] und betrachtet und das Integral η(x1 ) = η(x2 ) = 0, ε ∈ R 38 9 Mathematik im Zeitalter des Absolutismus und der Aufklärung x2 f (x, y0 (x) + εη(x), y0′ (x) + εη ′ (x))dx ϕ(ε) = x1 untersucht. Dann ist ϕ(0) = J(y0 ) ≤ ϕ(ε) für alle ε, d. h. ϕ hat ein Minimum für ε = 0, damit auch J(y), nämlich für die Minimalfunktion y0 .

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by Mark
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