Download e-book for iPad: Algebraische Algorithmen zur Lösung von linearen by Winfried Fakler

By Winfried Fakler

ISBN-10: 3322921042

ISBN-13: 9783322921048

ISBN-10: 3519021366

ISBN-13: 9783519021360

Maschinelles Lösen von Differentialgleichungen ist seit langem der Traum vieler Mathematiker, Naturwissenschaftler und Ingenieure. Dessen Umsetzung hat sich allerdings als sehr hartnäckig erwiesen. Da gibt es einerseits mechanische und elektro-mechanische Verfahren, die seit dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen verdrängt werden und heute praktisch durch numerische Verfahren abgelöst sind. Andererseits gibt es algebraische Verfahren, welche erst durch die Entwicklung von Computeralgebra-Systemen weite Verbreitung finden. Der Vorteil dieser Methoden liegt darin, daß sie Funktionen anstelle von Funktionswerten als Ergebnis zurückliefern. Das Gemeinsame aller algebraischen Verfahren ist ihre Kompliziertheit, die zu ihrem Verständnis bisher viel Theorie erforderte. Das vorliegende Buch stellt in einer möglichst einfach gehaltenen Darstellung neue Konzepte und Algorithmen zur exakten Lösung gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen vor, die es sogar ermöglichen, erstens, alle Lösungen zu berechnen und zweitens, diese Lösungen durch Formeln zu bestimmen. Eine Einführung in die Benutzung der im Computeralgebra-System MuPAD implementierten Verfahren und eine Kurzbeschreibung der Funktionen ergänzen die Abhandlung. Aktuelle Informationen zu MuPAD und der projektbegleitenden Forschung sind auf der http://www.mupad.de>MuPAD Homepage zu finden.

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Ueber Riemanns Theorie der Algebraischen Functionen - download pdf or read online

"Excerpt from the booklet. .. "
Hier wird guy nun _u_ als _Geschwindigkeitspotential_ deuten, so dass
[formula] [formula] die Componenten der Geschwindigkeit sind, mit der eine
Flüssigkeit parallel zur [formula]-Ebene strömt. Wir mögen uns diese
Flüssigkeit zwischen zwei Ebenen eingeschlossen denken, die parallel zur
[formula]-Ebene verlaufen, oder auch uns vorstellen, dass die Flüssigkeit
als unendlich dünn

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H. die Losungen der Faktoren unterscheiden sich nur urn eine rationale Funktion aus k. Mehr noch, verlangt man zusatzlich, daB der Leitkoeffizient jedes Faktors Eins ist, dann ist die Zerlegung in groBte vollstandig reduzible Faktoren sogar eindeutig bestimmt (siehe Loewy [55, Satz I]). 2 Methode der Variation der Konstanten Zur Losung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung nter Ordnung L(y) = yen) + an_Iy(n-l) + ... 4) mit ai E k und b E K, wobei K eine liouvillesche Erweiterung von kist, wird haufig die von Lagrange eingefuhrte Methode der Variation der Konstanten verwendet.

Daher ist Q(L) ~ D~L2. 10 (siehe Ulmer [88] S. 396ff, [99]) Wir betrachten die von Hendriks und van der Put konstruierte irreduzible Differentialgleichung /I 27x L() y = y + 8(X3 _ 2)2 Y = o. Ihre vierte symmetrische Potenz L®4(y) = 0 besitzt einen zweidimensionalen rationalen Losungsraum, der von rl = x 3 - 2 und r2 = x(x 3 - 2) erzeugt wird. 2 ist die zu L(y) = 0 gehOrende Galoisgruppe Q(L) ~ D~L2. Der rationale Losungsraum von L®6(y) = 0 wird von r3 = (x 3 - 2)2 erzeugt. 1) fur n = 2 eingesetzt, erhalt man die Bedingung: (cs 2 - C2C42 + 4C23)X12 + (-CIC4 2 - 2C2C3C4 + 12 CIC2 2)X l l + (-2CIC3C4 - C2C32 + 12c12C2)XlO + (-8cs2 + 6C2C42 - CIC3 2 - 24c23 + 4C13)x9 + (6CIC42 + 12c2c3c4 - 72cIC22)X8 + (12cIC3C4 + 6C2C32 - 72c12C2)X7 + (24cs2 -12c2c42 + 6CIC32 + 48c23 - 24c13)X6 + (-12cIC42 - 24c2C3C4 + 144cIC22)XS + (-24cIC3C4 - 12c2c32 + 144c12C2)X4 + (-32cs 2 + 8C2C42 -12cIC32 - 32c23 + 48c13)X3 + (8CIC42 + 16c2c3c4 - 96cl~2)X2 + (16cIC3C4 + 8C2C32 - 96c12C2)X + 16cs2 + 8CIC32 - 32c13 = o.

Beweis. B. Singer und Ulmer [79], S. 55. 3 zeigt d· m = IQ(L)I. H = (xn) mit IHI = 2n ist eine maximale Untergruppe von Q(L). Sie ist zyklisch und damit abelsch und l-reduzibel und besitzt den gemeinsamen Eigenvektor aller Elemente z = Yl (z ist Losung von L(y) = 0). T = {x~,yx~} ist ein Vertretersystem der Linksnebenklassen von H in Q(L). Aus obigem erhalt man zusatzlich m = [Q(L) : H] = 2 und somit d = 2n. Daraus laBt sich nun das Minimalpolynom wie folgt berechnen P(Y) = = II (y2n - a(z)2n) (FEr (y2n _ (_Yl)2n) (y2n _ (_iY2)2n) = y4n _ (y~n + (_1)ny~n)y2n + (-lty~ny~n.

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Algebraische Algorithmen zur Lösung von linearen Differentialgleichungen by Winfried Fakler


by Robert
4.4

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